ἔλλειψις ****的主要意思是「短缺」「缺少」「不足」，来自动词 ἐλλείπειν——「留下」「剩下」「略去」，λείπειν 是「离开」「留下」，ἐν- 是起强化语意作用的动词前缀，在 λ 前面变形为 ἐλ-。
（先是被用在语法、修辞学中，表示省略）
在欧氏几何里，用一个平面去切一个直圆锥（含上下两叶），只要平面不通过锥顶，就能切出 4 种本质不同的实曲线；若允许“过顶点”或“虚交”，则可再得 3 种退（临）界情形，于是总共 7 种截面形状：
| 切割方式 | 曲线 | 类别 |
|---|---|---|
| 1. 平面 ⫽ 底面 | 圆 | 非退化 |
| 2. 平面倾斜，与所有母线相交 | 椭圆 | 非退化 |
| 3. 平面 ⫽一条母线 | 抛物线 | 非退化 |
| 4. 平面更陡，与上下两叶都相交 | 双曲线（两支） | 非退化 |
| 5. 平面恰好通过锥顶，且与锥面相切 | 一条直线（母线） | 退化 |
| 6. 平面通过锥顶，与锥面交于两条母线 | 两条相交直线 | 退化 |
| 7. 平面通过锥顶，与锥面仅虚交 | 一个点（顶点） | 退化 |
因此，严格区分形状（拓扑与度量类型）共 7 种；若只问“通常说的圆锥曲线”，则指前 4 种非退化的圆、椭圆、抛物线、双曲线。
一个以A为顶点，圆BC为底面的圆锥。三角形ABC是过圆锥的轴的截面。用一个不与底面平行的平面去截圆锥，得到一条圆锥截线。设该平面与圆锥底面的交线DE跟BC垂直，并设该平面与平面ABC的交线为FG。则所得截线有三种情形：
如果FG平行于AC，截线就是抛物线；
如果FG与AC的反向延长线相交，截线就是双曲线的一支；
如果FG与AC相交，截线就是椭圆。
三条定理说的是，从圆锥截线上每一点K到FG连一条线段KL平行于DE，可以证明，在上述三种情形中，线段KL跟线段FL之间各有一种确定的关系。这个关系可以通过在FL上画出的一个辅助矩形来表达，该矩形的另一条边FH按如下比例关系来确定：
对于FG平行于AC的情形，FH这样来确定：以BC为边的正方形与以AB和AC为边的矩形之比跟FH与FA之比相同（用今天的话来说就是：BC²/(AB∙AC) = FH/FA ）。对于FG与AC或AC的反向延长线相交的情形，设交点为P，作AM平行于FG，交BC于M，然后这样来确定FH：以AM为边的正方形与以BM和CM为边的矩形之比跟FP与FH之比相同（用今天的话来说就是：AM²/(BM∙CM) = FP/FH ）。[2]
这样定出FH之后，在FL上画出以FH为另一边的矩形，我们不妨称之为矩形1；再在FL上画一个矩形等于以KL为边的正方形，称之为矩形2。阿波罗尼奥斯证明，在FG平行于AC的情形中，对于每一个点K，矩形2就是矩形1，即矩形2恰好跟FH对齐，因此阿波罗尼奥斯把这种情形下的圆锥截线称为παραβολή。在FG与AC反向延长线相交的情形中，矩形2总是超出矩形1一块，因此阿波罗尼奥斯把这种情形下的圆锥截线称为ὑπερβολή。在FG与AC相交的情形中，矩形2总是比矩形1短少一块，因此阿波罗尼奥斯把这种情形下的圆锥截线称为ἔλλειψις。[3] 这就是三种圆锥截线名称的由来。
阿波罗尼奥斯还证明超出和短少的那一块矩形总是相似于以FH和FP为边的矩形。这三条定理至关重要，因为有了它们，就可以抛开圆锥，所有的圆锥截线都只需放在平面上处理。它们所刻画的这种性质被称为圆锥截线的「本原性质」（ἀρχικόν συμπτώμα），意思是说，这种性质虽然不是定义但可以起到定义的作用。直到解析几何发展成熟之前，数学家一直都是用这三条定理来判定平面上的一条曲线是不是圆锥截线以及是哪一种圆锥截线。 今天说的双曲线在古代几何学中被视为位置相对的两条曲线，两条都是 ὑπερβολή，也就是说，ὑπερβολή只是今天说的双曲线的一支。
ellipsis：切面的斜率不足于所截圆锥的边的斜率。
